Parallèlement à des études générales, Claude Giron commence le violoncelle et le piano à l’école de musique de Rochefort sur mer. Après avoir obtenu son baccalauréat en 1986, elle entre en 1988 au Conservatoire national supérieur de musique et de danse de Paris (CNSMDP) dans les classes de Roland Pidoux (violoncelle) et Michel Strauss (musique de chambre). Elle obtient, 3 ans plus tard, un Premier prix dans chacune de ces deux disciplines.
Lors de master-classes données au CNSMDP, elle rencontre Aldo Parisot. Après avoir passé un été au Canada, dans sa classe à l’Académie de Banff, elle décide de partir étudier à l’Université de Yale où il enseigne. Munie d’une bourse Fullbright et d’une bourse du Ministère de la culture, elle y passe 3 ans et obtient un Master of Music et un Artist Diploma. Ce séjour lui apporte une expérience importante dans le domaine de la musique de chambre puisqu’elle a la chance de travailler avec le Tokyo String Quartet et d’être lauréate de plusieurs concours internationaux aux Etats-Unis.
A son retour en 1994, elle entre à l’Orchestre philharmonique de Radio France, puis, en 1999, à l’Orchestre de Paris. 
En plus de la musique de chambre qu’elle pratique dans différentes formations, Claude Giron manifeste un vif intérêt pour tous les styles de musique. Elle a enregistré un disque avec le grand pianiste de jazz Ahmad Jamal, participé à de nombreux concerts en orchestre de chambre (European Camerata) et à des ensembles de violoncelles (Octuor de Paris). 
Depuis 1999, elle est en outre membre du groupe Pink Martini qu’elle rejoint à l’occasion de tournées européennes. 
En 2006, elle rejoint le groupe de musique yiddish Sirba Octet avec lequel elle a déjà enregistré plusieurs dont le dernier "Tantz", qui a reçu un vif succès (Choc Classica, 3f Télérama).